Αποψύχουμε τις γαρίδες.
Καθαρίζουμε τις γαρίδες, αφαιρώντας το κεφάλι και βγάζοντας το κέλυφος. Αφήνουμε την ουρά για ομορφιά.
Με τη βοήθεια ενός μικρού μαχαιριού χαράσσουμε ελαφρά τη ράχη της γαρίδας από την ουρά προς το κεφάλι για να αφαιρέσουμε το έντερο.
Βάζουμε τα κεφάλια και τα κελύφη από τις γαρίδες σε μία κατσαρόλα μαζί με τον κύβο λαχανικών, το αλάτι και το νερό. Μόλις έρθει σε βρασμό το μείγμα μας, καπακώνουμε και σιγοβράζουμε για 15 λεπτά.
Σουρώνουμε σε ένα μπολ τον ζωμό και τον αφήνουμε στην άκρη.
Παράλληλα ραντίζουμε τις γαρίδες με ελαιόλαδο. Βάζουμε ένα τηγάνι σε δυνατή φωτιά και μόλις ζεσταθεί προσθέτουμε και σοτάρουμε τις γαρίδες μέχρι να πάρουν χρώμα και από τις 2 πλευρές (για περίπου 30 δευτερόλεπτα την κάθε πλευρά).
Αφαιρούμε τις γαρίδες από το τηγάνι, τις βάζουμε σε ένα πιάτο και τις αφήνουμε στην άκρη.
Βάζουμε το τηγάνι πίσω σε δυνατή φωτιά και ρίχνουμε 2 κ.σ ελαιόλαδο.
Ψιλοκόβουμε το κρεμμύδι και το σκόρδο, τα ρίχνουμε στο τηγάνι και σοτάρουμε για λίγα δευτερόλεπτα.
Ψιλοκόβουμε το καρότο και το σέλινο, τα ρίχνουμε στο τηγάνι και συνεχίζουμε το σοτάρισμα.
Ρίχνουμε τον ζωμό από τις γαρίδες κι όταν ο ζωμός βράσει ρίχνουμε τα σπαγγέτι μας. Ανακατεύουμε και χαμηλώνουμε τη φωτιά σε μέτρια. Σιγοβράζουμε για 10 λεπτά, ανακατεύοντας συχνά μέχρι να εξατμιστεί ο ζωμός.
Αφαιρούμε από τη φωτιά, προσθέτουμε μέσα τις γαρίδες, τα φύλλα βασιλικού και ανακατεύουμε.
Σερβίρουμε με ξερό ή φρέσκο δυόσμο.